Matemática Financeira

Esta UC introduz os conceitos básicos de avaliação de activos financeiros: teoria da escolha, teoria da carteira, modelos de equilíbrio e de arbitragem.
Também se pretende abordar algum trabalho empírico e fazer aplicações com dados reais. No final da UC, o aluno será capaz de ler um conjunto significativo de artigos de investigação em asset pricing e compreender os resultados principais desses artigos.

1. Individual Choice Theory
2. Individual Portfolio Decision
3. Capital Asset Pricing Model
4. Arbitrage Pricing Theory and Factor Models
5. Pricing in Complete Markets

A nota final resulta de:- Exame Final: 70%- Trabalhos na aula, trabalhos de casa, participação na aula: 30%Não se aplica nota mínima em nenhuma das componentes da avaliação.Os exames são sem consulta, com excepção de uma folha com fórmulas.

Num primeiro nível, facultar a compreensão dos conceitos, da terminologia e do significado dos principais teoremas desta área, de modo a tornar os mestrandos auto-suficientes em estudos posteriores; num segundo nível, proporcionar algum treino na argumentação e nos cálculos mais relevantes nesta área da Matemática, com vista a dotar o mestrando da capacidade de justificação rigorosa das suas conclusões; num terceiro nível, mais ambicioso, despertar a capacidade de conceber demonstrações na resolução de problemas.

1. Sigma-álgebras. Espaços mensuráveis e funções mensuráveis.
2. Medidas finitas e sigma-finitas. Propriedades das medidas. Espaços de medida e de probabilidade.
3. O Integral duma função num espaço de medida. Propriedades do integral. Integrabilidade.
4. O Integral de Lebesgue na recta real.
5. Comparação com o Integral de Riemann.
6. Medidas produto e Teorema de Fubini.
7. Medida associada a uma função densidade.
8. O Teorema de Radon-Nikodym.
9. Mudança de variável. Os espaços L1 e L2.
10. Convergência de sucessões de funções

Avaliação regular: - Um exme individual (100%) Considera-se que o aluno teve aprovação à disciplina se tiver nota superior ou igual a 9.5 valores.

Conhecimento das principais ferramentas probabilísticas usadas para a avaliação de derivados financeiros.

1. Noções básicas de Teoria da Probabilidade.
2. Esperança condicional.
3. Martingalas com tempo discreto.
4. Processos estocásticos com tempo contínuo.
5. Movimento Browniano.
6. Integral estocástico de Itô.
7. Fórmula de Itô.
8. Teorema da representação das martingalas.
9. Equações diferenciais estocásticas.
10. Teorema de Girsanov.
11. Fórmula de Feynmam-Kac.

Avaliação regular: - Um teste individual Os alunos que reprovarem ou quiserem melhorar a avaliação regular possuem uma época de exame de recurso, tendo o exame de recurso uma ponderação de 100% da nota final. Em qualquer um dos sistemas de avaliação (avaliação regular ou exame de recurso) considera-se que o aluno teve aprovação à disciplina se tiver nota superior ou igual a 9.5 valores.

Conhecimento dos principais modelos matemáticos para a avaliação de derivados financeiros.

1. Modelos com tempo discreto.
2. O modelo de Cox-Ross-Rubinstein.
3. O problema da paragem óptima e as opções americanas.
4. O modelo de Black-Scholes.

Avaliação regular: - Um teste individual Os alunos que reprovarem ou quiserem melhorar a avaliação regular possuem uma época de exame de recurso, tendo o exame de recurso uma ponderação de 100% da nota final. Em qualquer um dos sistemas de avaliação (avaliação regular ou exame de recurso) considera-se que o aluno teve aprovação à disciplina se tiver nota superior ou igual a 9.5 valores.

Esta disciplina destina-se a fornecer conhecimentos básicos em equações às derivadas parciais, com enfoque especial no tipo de equações mais usadas na avaliação de produtos financeiros.

I. Equações diferenciais ordinárias:
Equações de 1ª ordem: equações de variáveis separáveis e equações lineares.
Equações lineares de 2ª ordem: com condições iniciais e com condições de fronteira.
II. Equações com derivadas parciais lineares de 1ª ordem (duas variáveis):
Exemplo: equação de transporte.
Campos vectoriais planos e curvas integrais.
Método das caracteristicas.
III. Equações com derivadas parciais lineares de 2ª ordem (duas variáveis):
Exemplos: equação do calor, equação das ondas, equação de Laplace.
Outros exemplos: equações de reação-difusão; equação de Black-Scholes.
Classificação: caracteristicas e formas canónicas.
Condições de fronteira e iniciais.
Método da separação de variáveis.
Séries de Fourier.
Solução da equação do calor num intervalo limitado.
Integral de Fourier.
Solução da equação do calor num intervalo ilimitado.
Solução da equação de Black-Sholes para uma opção europeia.
Noção de fronteira livre e preço de uma opção americana.

Avaliação regular: - Um exame escrito com uma ponderação de 100%Os alunos que reprovarem ou quiserem melhorar a avaliação regular possuem uma época de exame de recurso, tendo o exame de recurso uma ponderação de 100% da nota final. Em qualquer um dos sistemas de avaliação (avaliação regular ou exame de recurso) considera-se que o aluno teve aprovação à disciplina se tiver nota superior ou igual a 9.5 valores.

A cadeira dedica-se à avaliação de opções exóticas e de produtos estruturados com base nos pressupostos inerentes ao modelo de Merton (1973). Especial enfâse será dada à análise de path-dependent options.

1. Conceitos base
2. Produtos estruturados
3. Modelo de Merton: recapitulação
4. Compound options
4.1. Normal bivariada
4.2. Pricing de opções europeias
5. Chooser options: simples e complexas
6. Barrier options
6.1. Reflection principle
6.2. Deterministic time change
6.3. Knock-ins e knock-outs
6.4. Rebates
7. Lookback options
8. Asian options
9. Forward-start options
10. Correlation dependent options

Avaliação regular: - Um teste individual (80%)- Casos de avaliação individuais, assiduidade e participação (20%)Os alunos que reprovarem ou quiserem melhorar a avaliação regular possuem uma época de exame de recurso, tendo o exame de recurso uma ponderação de 100% da nota final. Em qualquer um dos sistemas de avaliação (avaliação regular ou exame de recurso) considera-se que o aluno teve aprovação à disciplina se tiver nota superior ou igual a 9.5 valores.

Formular e interpretar modelos matemáticos, com especial ênfase para aplicações às áreas de economia e finanças. Determinar, de forma crítica, quais os métodos numéricos a aplicar com vista à resolução de problemas de optimização.

CP1 - Otimização a uma variável.
CP2 - Introdução ao MATLAB
CP3 - Optimização a mais do que uma variável sem restrições:
(a) Condições necessárias e suficientes para a existência de extremos.
(b) Descida máxima e Métodos de Newton.
(c) Optimização no Matlab
CP4 - Optimização a mais do que uma variável com restrições:
(a) Restrições de igualdade: condições necessárias e suficientes para a existência de extremos.
(b) Restrições de desigualdade: Condições KKT.
(c) Optimização no Matlab.

Avaliação periódica:· Trabalho (T)· Exame final (E).A nota final é calculada de acordo com a seguinte fórmula:Nota Final = max(0,20 x [Nota de T] + 0,80 x [Nota de E], Nota de E)Observações:I) Nota mínima do Exame Final = 9,5 val.II) Condição de Aprovação à UC: Nota Final >= 10 val.III) As notas do Trabalho (T) e a nota do Exame Final (E) são arredondadas à décima mais próxima; a nota final é arredondada à unidade mais próxima.

Desenvolver os conhecimentos de progamação e aprofundar a capacidade de abstracção necessária para resolver problemas envolvendo programação com classes.

A palavra chave desta disciplina é ABSTRACÇÃO.Nesta disciplina, abordaremos a Programação com Classes, usando como ferramenta a linguagem C++.Aprenderemos o que é uma classe, como criar e usar classes, com ênfase na perspectiva de um programador-utilizador: muitas vezes, em vez de criarmos código de raiz, faz sentido aproveitar classes criadas por terceiros - tantas vezes, disponibilizadas gratuitamente na internet.

Avaliação regular: - Exame final, com uma componente escrita e uma componente de programação em computadorOs alunos que reprovarem ou quiserem melhorar a avaliação regular possuem uma época de exame de recurso, tendo o exame de recurso uma ponderação de 100% da nota final. Em qualquer um dos sistemas de avaliação (avaliação regular ou exame de recurso) considera-se que o aluno teve aprovação à disciplina se tiver nota superior ou igual a 9.5 valores.

Esta unidade curricular dedica-se à modelização do risco de crédito e à avaliação de derivados de crédito.

1. Fundamentos do risco de crédito
2. Estimação da probabilidade de default
2.1. Ratings das agências de crédito
2.2. Credit scoring e modelos internos de rating
3. Modelos estruturais de risco de crédito
3.1. O modelo de Merton
3.2. Extensões ao modelo de Merton
3.3. O modelo Moody`s KMV
3.4. O modelo CreditGrades
4. Reduced form models
5. Risco de crédito de portfolios
6. Derivados de crédito
7. Unified credit-equity models

Avaliação periódica:a) Um trabalho de grupo (máximo de 3 elementos) com peso de 30%;b) Um exame final (de Época Normal) com peso de 70% na nota final e cuja nota mínima terá de ser igual ou superior a 7.5 valores.Obterão aprovação, os alunos que obtiverem uma nota final maior ou igual a 10 valores.Avaliação por exame: Os alunos podem realizar o exame de EN que terá um peso de 100%. Se reprovarem na avaliação periódica ou na EN podem aceder ao exame de recurso que terá um peso de 100%.

A cadeira dedica-se à aplicação das principais metodologias de avaliação de risco de mercado para os vários instrumentos financeiros

1. O RISCO FINANCEIRO
1.1. Tipologia de riscos
1.2. Razões para controlo dos riscos
2. VALUE at RISK (VaR)
2.1. VaR para distribuições gerais
2.2. VaR para distribuições paramétricas
3. VaR DE INSTRUMENTOS FINANCEIROS
3.1. Acções e divisas
3.2. Obrigações: mapping e bucketing
3.3. Derivados

Avaliação regular: - Um teste individual (mínimo de 90%)- Casos de avaliação individuais, assiduidade e participação (máximo 10%)Exame de recurso, ponderação de 100% da nota final. Em qualquer um dos sistemas de avaliação (avaliação regular ou exame de recurso) considera-se que o aluno teve aprovação à disciplina se tiver nota superior ou igual a 9.5 valores.

Introduzir algumas das noções no campo actuarial, usando como metodologias básicas a Teoria da Utilidade e a Teoria do Risco.

1.Revisão de conceitos básicos envolvendo variáveis aleatórias, com modelos probabilísticos associados discretos, contínuos, mistos ou de mistura. Os modelos de Bernoulli, Binomial, Poisson, Geométrico e Binomial Negativo, Normal, Gama, Beta, Pareto, etc. Revisão de Processos Estocásticos. Revisão de resultados assintóticos; somas de variáveis aleatórias e o Teorema Limite Central.
2.Alguns conceitos em Seguros sob uma perspectiva da Utilidade. Aversão ao risco.
3.Modelos de Risco Individual a breve prazo. Aproximações e noção de VaR.
4.Modelos de Risco Colectivo para um período simples. As Indemnizações Agregadas: modelos Poisson Composto e o Binomial Negativo.
5.Modelos de Risco Colectivo para um período genérico. Noção de Ruína. Os Processos associados às indemnizações - o Processo do Número de Indemnizações e o Processo das Indemnizações Agregadas. O Coeficiente de Ajustamento e sua relação com a Probabilidade de Ruína. Aplicações da Teoria do Risco a problemas de Seguros.

AULAS TEORICAS e TEORICO-PRATICAS, ministradas com:slides,quadro giz,sendo os alunos igualmente chamados a participar na resolução de questões.5 questões são propostas de trabalho individual escrito, em casa.AVALIAÇÂO CONTÍNUA (AC)+EXAME ESCRITO FINAL (EEF)NOTA=MAX( (EEF), 85%(EEF)+15%(AC) )

Esta unidade curricular pretende dotar os alunos que frequentam este ciclo de estudos de ferramentas básicas e conceitos fundamentais da análise real, que vão para além da manipulação de fórmulas. Por um lado, estas ferramentas são pré-requisitos para a realização de outras UCs que integram o mestrado (nomeadamente, Teoria da Medida, Otimização ou Equações com Derivadas Parciais). Por outro, são ferramentas mínimas indispensáveis em qualquer área onde a matemática desempenha um papel fundamental.

CP1. Os números reais: conjuntos ordenados; corpos; o corpo dos números reais.
CP2. Noções básicas de topologia: potências de conjunto; espaços métricos; conjuntos compactos.
CP3. Sucessões numéricas e séries: convergência; subsucessões; sucessões de Cauchy; séries; alguns critérios de convergência; séries de potências.
CP4. Continuidade: limites e continuidade de funções entre espaços métricos; continuidade e topologia.
CP5. Derivação: derivada de uma função real; teoremas fundamentais.
CP6. Integral de Riemann: definição e propriedades; integração e derivação.
CP7. Sucessões e séries de funções: convergência uniforme; relações da continuidade uniforme com continuidade, integração e derivação.

A UC contempla um processo de avaliação periódica e que integra os seguintes instrumentos de avaliação:1. Três fichas de exercícios (FE), cada uma com 5 questões de carácter teórico-prático. As FE serão disponibilizadas semanalmente aos alunos via e-mail/Moodle, respeitando o seguinte calendário: FE1 (25%): disponível a partir de 03/09/2022 - entregar até 17/09/2022. FE2 (15%): disponível a partir de 10/09/2022 - entregar até 24/09/2022. FE3 (25%): disponível a partir de 17/09/2022 - entregar até 06/09/2022.2. Exame final (35%).A nota final é calculada de acordo com a seguinte fórmula:Nota Final = 0,25 x (Nota de FE1) + 0,15 x (Nota de FE2) + 0,25 x (Nota de FE3) + 0,35 x (Nota de Exame Final) Observações: I) As notas de cada FE e a nota do Exame Final são arredondadas à décima mais próxima; a nota final é arredondada à unidade mais próxima.II) Condição de Aprovação à UC: Nota Final >= 10 val.III) Nota mínima do Exame Final = 8,0 val.IV) Assiduidade mínima: 6 aulas (12h).

Esta unidade curricular dedica-se ao estudo dos principais instrumentos derivados (forwards, futuros e swaps) e sua utilização nos mercados financeiros.

1. Introdução aos produtos derivados

2. Contratos forward
2.1. Forwards cambiais e de taxa de juro (FRA)
2.1.1. Caracterização: tipologia e mercados
2.1.2. Formação de preços e arbitragem
2.1.3. Gestão de riscos e especulação
2.1.4. Negociação de operações no mercado de balcão

3. Swaps de taxa de juro (IRS)
3.1. Caracterização
3.2. Formação de preços
3.3. Cobertura de riscos
3.4. Gestão da modalidade de taxa de juro de operações financeiras
3.5. Especulação

4. Futuros
4.1. Caracterização, organização e funcionamento de mercados
4.2. Futuros sobre acções e mercadorias
4.2.1. Caracterização e formação de preços
4.2.2. Gestão de riscos e especulação

5. Produtos derivados e inovação financeira

O sistema de avaliação compreende:- Casos práticos (30%)- Exame final (70%) Os alunos que reprovarem ou quiserem melhorar a avaliação regular possuem uma época de exame de recurso, tendo o exame de recurso uma ponderação de 100% da nota final. Em qualquer um dos sistemas de avaliação (avaliação regular ou exame de recurso) considera-se que o aluno teve aprovação à disciplina se tiver nota superior ou igual a 9.5 valores.

O objectivo principal de Fundamentos Economia é enfatizar a derivação formal de resultados e a resolução de problemas.

1 O consumidor
Preferencias e utilitydade,
Funções Procura
2 O produtor
Tecnologia
Custos
3 Mercados
Concorrencia Perfeita
Monopolio
Oligopolio

A avaliação desta disciplina consiste num teste escrito no final do semestre abrangendo toda a matéria leccionada (100%).*, ***A assiduidade não pode ser inferior a 80%.** Para obter aprovação na disciplina, a nota da prova escrita não pode ser inferior a 10 valores.

A cadeira visa apresentar o funcionamento dos mercados financeiros e analisar os principais conceitos subjacentes à análise e avaliação de obrigações. Especial ênfase será dada à avaliação de obrigações a taxa fixa.

1. Mercados Financeiros
1.1. Mercados Monetários
1.2. Mercados Cambiais
1.3. Mercados de Capitais (Obrigações, Acções e Derivados)
2. Análise e Avaliação de Obrigações
2.1. Conceitos básicos
2.2. Estrutura temporal de taxas de juro
2.3. Avaliação de obrigações a taxa fixa
2.4. Medidas de rentabilidade
2.5. Estimação da estrutura temporal de taxas de juro
2.6. Rating e risco de crédito

Avaliação regular: - Um teste individual (100%)Os alunos que reprovarem ou quiserem melhorar a avaliação regular possuem uma época de exame de recurso, tendo o exame de recurso uma ponderação de 100% da nota final. Em qualquer um dos sistemas de avaliação (avaliação regular ou exame de recurso) considera-se que o aluno teve aprovação à disciplina se tiver nota superior ou igual a 9.5 valores.

Elaborar uma dissertação abordando uma temática específica das áreas científicas da Matemática Financeira aplicando os conhecimentos teóricos e as metodologias específicas de forma a aprofundar uma questão teórica.

1. Escrita de introdução e abstract
2. Definição de um problema de investigação
3. Definição de objectivos de pesquisa
4. Revisão de literatura
5. Definição de hipóteses
6. Técnicas de recolha de dados
7. Técnicas de análise de dados
8. Escrita de conclusões e definição de possibilidades de pesquisa futura

- Apresentação escrita da dissertação- Apresentação oral da síntese da dissertação e posterior discussão pública perante um júri

Pretende-se que os alunos, no final da unidade curricular, consigam aplicar métodos econométricos univariados e multivariados a problemas concretos de mercados financeiros.
Os objetivos principais são: explicar o conteúdo de forma clara e lógica, escrever documentos com uma aparência profissional, ser apto de formular ideias e conclusões, dar uma sequência lógica a informação, debater ideias e utilizar de forma efetiva um ?software? específico.

1. Introdução
2. Regressão
2.1. Correlação e causalidade
2.2. Regressão linear simples e múltipla
2.3. Métodos de estimação e diagnóstico. Pressupostos dos resíduos.
3. Modelos estacionários e não-estacionários univariados
3.1. Estacionariedade e Testes de raízes unitárias
3.2. Modelos ARMA/ARIMA
4. Modelos de heteroscedasticidade condicionada e volatilidade: ARCH/GARCH
5. Modelos estacionários e não-estacionários multivariados
5.1. Modelos multivariados -- VAR (Vector auto-regression)
5.2. Causalidade de Granger e Cointegração,
5.3. Modelos VECM (vector error correction models) e Método de Johansen
6. Aplicações e casos de estudo
7. Software: Python

A avaliação processa-se em 2 épocas: Normal e Recurso. Na Época Normal, os alunos que optem pela avaliação periódica, terão de ter uma assiduidade de 2/3 das aulas e serão avaliados por:a) Trabalho de grupo, 50%, nota mínima 10 valores. b) Exame final, 50%, nota mínima de 8 valores.Obterão aprovação os alunos que têm uma nota final >= a 10 valores.Exame de Recurso nas seguintes condições: alunos que não obtiveram aprovação na 1.ª Época; Para melhoria de nota.

Esta disciplina destina-se a fornecer as tecnicas numéricas básicas usadas na avaliação de produtos financeiros.

I. Análise numérica básica
Interpolação
Derivação e integração numérica
Sistemas lineares
Método de Euler para EDO
II. Diferenças finitas para equações parabólicas
Métodos explicitos e implicitos (1+1D)
Estabilidade e convergência (1+1D)
Avaliação de opções europeias usando diferenças finitas (1+1D)
Método ADI para equações (1+2D)
Avaliação de opções americanas usando diferenças finitas (1+1D)
III. Método de Monte Carlo
Simulação de variáveis estocásticas
Equações diferenciais estocásticas

Avaliação regular: - Um exame escrito com uma ponderação de 100%Os alunos que reprovarem ou quiserem melhorar a avaliação regular possuem uma época de exame de recurso, tendo o exame de recurso uma ponderação de 100% da nota final. Em qualquer um dos sistemas de avaliação (avaliação regular ou exame de recurso) considera-se que o aluno teve aprovação à disciplina se tiver nota superior ou igual a 9.5 valores.

A cadeira centrar-se-á sobre a avaliação de derivados de taxas de juro mediante a utilização de modelos estocásticos da estrutura temporal de taxas de juro. Contudo, as primeiras aulas serão dedicadas ao estudo de modelos de volatilidade estocástica.

No final do curso o aluno deverá dominar a aplicação de diferentes modelos à avaliação de diferentes derivados de taxas de juro.

1. Alternativas ao Modelo de Black-Scholes: volatility smiles
1.1. CEV model
1.2. Modelo de Heston (1993)
2. Estrutura Temporal de Taxas de Juro
2.1. Mercados de obrigações
2.2. Taxas spot, forward e factores de desconto
2.3. Avaliação de obrigações a taxa fixa
2.4. Yield-to-maturity
2.5. Avaliação de obrigações a taxa variável
2.6. Estimação da estrutura temporal de taxas de juro
2.6.1. Bootstraping
2.6.2. Nelson-Siegel (1987)
2.7. Duração e imunização
3. Modelos de Equilíbrio
3.1. Modelo de Vasicek (1977)
3.2. Modelo CIR (1985)
3.3. Multi-factor CIR model
3.4. Formulação geral de Duffie-Kan (1996)
3.5. Stochastic duration
4. Modelos de Não-Arbitragem
4.1. Modelos HJM
4.2. Condição de não-arbitragem
4.3. Especificação de Hull-White (1990)
4.4. Gaussian HJM model: avaliação de futuros e opções
4.5. Market Models
4.5.1. Lognormal LIBOR market model: caps, floors e collars
4.5.2. Jamshidian model: swaptions

Avaliação contínua: - Um teste individual final ou "frequência" (80%);- Casos de avaliação individuais, assiduidade e participação (20%).Os alunos que reprovarem ou quiserem melhorar a avaliação regular possuem uma época de exame de recurso, tendo o exame de recurso uma ponderação de 100% da nota final. Em qualquer um dos sistemas de avaliação (avaliação contínua ou exame de recurso) considera-se que o aluno teve aprovação à disciplina se tiver nota superior ou igual a 9.5 valores.