Matemática Financeira
Mestrado
Acreditações

Período de aulas
Consulte aqui o plano de estudos detalhado
A parte curricular do Mestrado encontra-se dividida em quatro trimestres lectivos, os quais perfazem 78 ECTS, ou seja, tem início em Setembro do ano 2023 e termina apenas em Dezembro do ano 2024.
A última etapa do Mestrado é dedicada à realização da dissertação (42 ECTS), sendo necessário completar 120 ECTS para obter o Grau de Mestre.
O percurso académico dos alunos é apenas diferenciado no 1.º trimestre em função da sua área de proveniência: Matemática (Percurso A) versus Economia (Percurso B).
Existe a possibilidade de emissão de um Diploma de Estudos Pós-Graduados de 2.º Ciclo pela conclusão com aproveitamento dos 78 créditos lectivos - parte curricular do mestrado em Matemática Financeira.
As unidades curriculares serão leccionadas em português, exceptuando aquelas que integrem alunos ou docentes estrangeiros, as quais serão leccionadas em inglês.
Horário
Sextas-feiras: 17h30 - 21h15
Sábados: 09h00 - 12h45
1.º Trimestre (setembro a dezembro)
2.º Trimestre (janeiro a março)
Percurso A / Percurso B | ECTS |
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Optimização | 3 |
Programação | 3 |
Cálculo Estocástico em Finanças I | 7 |
Equações com Derivadas Parciais | 7 |
3.º Trimestre (abril a julho)
Percurso A / Percurso B | ECTS |
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Cálculo Estocástico Finanças II | 7 |
Opções Exóticas | 7 |
Risco de Mercado | 3 |
Risco de Crédito | 3 |
4.º Trimestre (setembro a dezembro)
Percurso A / Percurso B | ECTS |
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Métodos Numéricos | 6 |
Modelos de Estrutura Temporal de Taxas de Juro | 6 |
Econometria dos Mercados Financeiros | 6 |
5.º e 6.º Trimestre (janeiro a setembro)
Percurso A / Percurso B | ECTS |
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Dissertação | 42 |
Plano de Estudos para 2023/2024
Unidades curriculares | Créditos | |
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1º Ano | ||
Investimentos Financeiros
6.0 ECTS
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Unidades Curriculares Obrigatórias | 6.0 |
Teoria da Medida
4.0 ECTS
|
Unidades Curriculares Obrigatórias | 4.0 |
Cálculo Estocástico em Finanças I
7.0 ECTS
|
Unidades Curriculares Obrigatórias | 7.0 |
Cálculo Estocástico em Finanças II
7.0 ECTS
|
Unidades Curriculares Obrigatórias | 7.0 |
Equações com Derivadas Parciais em Finanças
7.0 ECTS
|
Unidades Curriculares Obrigatórias | 7.0 |
Opções Exóticas
7.0 ECTS
|
Unidades Curriculares Obrigatórias | 7.0 |
Optimização
3.0 ECTS
|
Unidades Curriculares Obrigatórias | 3.0 |
Programação
3.0 ECTS
|
Unidades Curriculares Obrigatórias | 3.0 |
Risco de Crédito
3.0 ECTS
|
Unidades Curriculares Obrigatórias | 3.0 |
Risco de Mercado
3.0 ECTS
|
Unidades Curriculares Obrigatórias | 3.0 |
Teoria do Risco em Seguros Não-Vida
6.0 ECTS
|
Percursos > 1º Ciclo em Economia Ou Afins | 6.0 |
Tópicos de Análise Real
4.0 ECTS
|
Percursos > 1º Ciclo em Economia Ou Afins | 4.0 |
Derivados e Gestão de Risco
6.0 ECTS
|
Percursos > 1º Ciclo em Matemática Ou Afins | 6.0 |
Fundamentos de Economia
2.0 ECTS
|
Percursos > 1º Ciclo em Matemática Ou Afins | 2.0 |
Mercados Financeiros
2.0 ECTS
|
Percursos > 1º Ciclo em Matemática Ou Afins | 2.0 |
Percursos > 1º Ciclo em Economia Ou Afins
|
||
2º Ano | ||
Dissertação em Matemática Financeira
42.0 ECTS
|
Unidades Curriculares Obrigatórias | 42.0 |
Econometria dos Mercados Financeiros
6.0 ECTS
|
Unidades Curriculares Obrigatórias | 6.0 |
Métodos Numéricos
6.0 ECTS
|
Unidades Curriculares Obrigatórias | 6.0 |
Modelos da Estrutura Temporal de Taxas de Juro
6.0 ECTS
|
Unidades Curriculares Obrigatórias | 6.0 |
Investimentos Financeiros
Esta UC introduz os conceitos básicos de avaliação de activos financeiros: teoria da escolha, teoria da carteira, modelos de equilíbrio e de arbitragem.
Também se pretende abordar algum trabalho empírico e fazer aplicações com dados reais. No final da UC, o aluno será capaz de ler um conjunto significativo de artigos de investigação em asset pricing e compreender os resultados principais desses artigos.
1. Individual Choice Theory
2. Individual Portfolio Decision
3. Capital Asset Pricing Model
4. Arbitrage Pricing Theory and Factor Models
5. Pricing in Complete Markets
A nota final resulta de:- Exame Final: 70%- Trabalhos na aula, trabalhos de casa, participação na aula: 30%Não se aplica nota mínima em nenhuma das componentes da avaliação.Os exames são sem consulta, com excepção de uma folha com fórmulas.
Bibliografia1. Danthine, J-P and J. Donaldson, 2014, Intermediate Financial Theory, 3rd edition, Elsevier Academic Press.2. Cochrane, J.H., 2005, Asset Pricing, Princeton University Press.3. Pires, Cesaltina, 2011, Mercados e Investimentos Financeiros, Escolar Editora.
Bibliografia Opcional1. Ingersoll, J.E., 1987, Theory of Financial Decision Making, Rowman & Littlefield.2. Huang, C-f and R. H. Litzenberger, 1988, Foundations for Financial Economics, Prentice Hall.3. Bodie, Kane, and Marcus, 2021, Investments, 12th Edition, McGraw-Hill.
Teoria da Medida
Num primeiro nível, facultar a compreensão dos conceitos, da terminologia e do significado dos principais teoremas desta área, de modo a tornar os mestrandos auto-suficientes em estudos posteriores; num segundo nível, proporcionar algum treino na argumentação e nos cálculos mais relevantes nesta área da Matemática, com vista a dotar o mestrando da capacidade de justificação rigorosa das suas conclusões; num terceiro nível, mais ambicioso, despertar a capacidade de conceber demonstrações na resolução de problemas.
Programa1. Sigma-álgebras. Espaços mensuráveis e funções mensuráveis.
2. Medidas finitas e sigma-finitas. Propriedades das medidas. Espaços de medida e de probabilidade.
3. O Integral duma função num espaço de medida. Propriedades do integral. Integrabilidade.
4. O Integral de Lebesgue na recta real.
5. Comparação com o Integral de Riemann.
6. Medidas produto e Teorema de Fubini.
7. Medida associada a uma função densidade.
8. O Teorema de Radon-Nikodym.
9. Mudança de variável. Os espaços L1 e L2.
10. Convergência de sucessões de funções
Avaliação regular: - Um exme individual (100%) Considera-se que o aluno teve aprovação à disciplina se tiver nota superior ou igual a 9.5 valores.
Bibliografia- M. Ramos, Teoria da Medida, Texto de Apoio às Aulas, 2005;- Outros textos de apoio teórico/práticos a facultar pelo docente durante o trimestre;
Bibliografia Opcional- M. Capinski, E. Kopp, Measure, Integral and Probability, Springer-Verlag, 2004 (segunda edição).- Seán Dineen, Probability Theory in Finance, Graduate Studies in Mathematics, Volume 70, AMS, 2005.- D. Williams, Probability with Martingales, Cambridge Mathematical Textbooks, 1995 (quarta edição).
Cálculo Estocástico em Finanças I
Conhecimento das principais ferramentas probabilísticas usadas para a avaliação de derivados financeiros.
Programa1. Noções básicas de Teoria da Probabilidade.
2. Esperança condicional.
3. Martingalas com tempo discreto.
4. Processos estocásticos com tempo contínuo.
5. Movimento Browniano.
6. Integral estocástico de Itô.
7. Fórmula de Itô.
8. Teorema da representação das martingalas.
9. Equações diferenciais estocásticas.
10. Teorema de Girsanov.
11. Fórmula de Feynmam-Kac.
Avaliação regular: - Um teste individual Os alunos que reprovarem ou quiserem melhorar a avaliação regular possuem uma época de exame de recurso, tendo o exame de recurso uma ponderação de 100% da nota final. Em qualquer um dos sistemas de avaliação (avaliação regular ou exame de recurso) considera-se que o aluno teve aprovação à disciplina se tiver nota superior ou igual a 9.5 valores.
BibliografiaIsabel Simão, Cálculo Estocástico em Finanças I, Texto de apoio às aulas, 2006.
Bibliografia Opcional-D. Lamberton and B. Lapeyre, Stochastic Calculus Applied to Finance, Chapman and Hall/CRC, 1996. -T. Mikosch, Elementary Stochastic Calculus with Finance in View, World Scientific, 1998. -B. Oksendal, Stochastic Differential Equations and Applications, Springer-Verlag, 5a edição, 1998.
Cálculo Estocástico em Finanças II
Conhecimento dos principais modelos matemáticos para a avaliação de derivados financeiros.
Programa1. Modelos com tempo discreto.
2. O modelo de Cox-Ross-Rubinstein.
3. O problema da paragem óptima e as opções americanas.
4. O modelo de Black-Scholes.
Avaliação regular: - Um teste individual Os alunos que reprovarem ou quiserem melhorar a avaliação regular possuem uma época de exame de recurso, tendo o exame de recurso uma ponderação de 100% da nota final. Em qualquer um dos sistemas de avaliação (avaliação regular ou exame de recurso) considera-se que o aluno teve aprovação à disciplina se tiver nota superior ou igual a 9.5 valores.
Bibliografia- Isabel Simão, Cálculo Estocástico em Finanças II, Texto de apoio às aulas, 2006.
Bibliografia Opcional-D. Lamberton and B. Lapeyre, Stochastic Calculus Applied to Finance, Chapman and Hall/CRC, 1996. -T. Björk, Arbitrage Theory in Continuous Time, Oxford University Press, 1998. - A. Etheridge, A Course in Financial Calculus, Cambridge University Press, 2002. - M. Musiela e M. Rutkowski, Martingale Methods in Financial Modelling, Springer-Verlag, 1998.
Equações com Derivadas Parciais em Finanças
Esta disciplina destina-se a fornecer conhecimentos básicos em equações às derivadas parciais, com enfoque especial no tipo de equações mais usadas na avaliação de produtos financeiros.
ProgramaI. Equações diferenciais ordinárias:
Equações de 1ª ordem: equações de variáveis separáveis e equações lineares.
Equações lineares de 2ª ordem: com condições iniciais e com condições de fronteira.
II. Equações com derivadas parciais lineares de 1ª ordem (duas variáveis):
Exemplo: equação de transporte.
Campos vectoriais planos e curvas integrais.
Método das caracteristicas.
III. Equações com derivadas parciais lineares de 2ª ordem (duas variáveis):
Exemplos: equação do calor, equação das ondas, equação de Laplace.
Outros exemplos: equações de reação-difusão; equação de Black-Scholes.
Classificação: caracteristicas e formas canónicas.
Condições de fronteira e iniciais.
Método da separação de variáveis.
Séries de Fourier.
Solução da equação do calor num intervalo limitado.
Integral de Fourier.
Solução da equação do calor num intervalo ilimitado.
Solução da equação de Black-Sholes para uma opção europeia.
Noção de fronteira livre e preço de uma opção americana.
Avaliação regular: - Um exame escrito com uma ponderação de 100%Os alunos que reprovarem ou quiserem melhorar a avaliação regular possuem uma época de exame de recurso, tendo o exame de recurso uma ponderação de 100% da nota final. Em qualquer um dos sistemas de avaliação (avaliação regular ou exame de recurso) considera-se que o aluno teve aprovação à disciplina se tiver nota superior ou igual a 9.5 valores.
BibliografiaBleecker, D. ; Csordas, G. - Basic Partial Differential Equa-tions, International Press (2003)Brown, J.W. ; Churchill, R. - Fourier Series and BoundaryValue Problems , McGraw-Hill, 7a ed. (2006)Farlow, S.J. - Partial Differential Equations for Scientists and En-gineers, Dover (1993)
Bibliografia OpcionalBasov, S. - Partial Differential Equations in Economics and Fi-nance, Nova Science (2007)Wilmott, P. ; Howison, S. ; Dewynne, J. - The Mathematicsof Financial Derivatives: A Student Introduction, CambridgeUniversity Press (1995)Zachmanoglou, C.C. ; Thoe, D.W. - Introduction to Partial Dif-ferential Equations with Applications, Dover (1986)
Opções Exóticas
A cadeira dedica-se à avaliação de opções exóticas e de produtos estruturados com base nos pressupostos inerentes ao modelo de Merton (1973). Especial enfâse será dada à análise de path-dependent options.
Programa1. Conceitos base
2. Produtos estruturados
3. Modelo de Merton: recapitulação
4. Compound options
4.1. Normal bivariada
4.2. Pricing de opções europeias
5. Chooser options: simples e complexas
6. Barrier options
6.1. Reflection principle
6.2. Deterministic time change
6.3. Knock-ins e knock-outs
6.4. Rebates
7. Lookback options
8. Asian options
9. Forward-start options
10. Correlation dependent options
Avaliação regular: - Um teste individual (80%)- Casos de avaliação individuais, assiduidade e participação (20%)Os alunos que reprovarem ou quiserem melhorar a avaliação regular possuem uma época de exame de recurso, tendo o exame de recurso uma ponderação de 100% da nota final. Em qualquer um dos sistemas de avaliação (avaliação regular ou exame de recurso) considera-se que o aluno teve aprovação à disciplina se tiver nota superior ou igual a 9.5 valores.
Bibliografia- Textos de Apoio teórico/práticos a facultar pela equipa docente durante o trimestre; - Artigos científicos a facultar pela equipa docente durante o trimestre.
Bibliografia OpcionalBriys, E., M. Bellalah, H. M. Mai and F. De Varenne, Options, Futures, and Exotic Derivatives, Wiley, 1998.Hull, John C., Options, Futures, and Other Derivative Securities, Prentice Hall, 11th edition, 2022.Zhang, P., Exotic Options: A Guide to Second Generation Options, World Scientific, 1998, 2nd edition.
Optimização
Formular e interpretar modelos matemáticos, com especial ênfase para aplicações às áreas de economia e finanças. Determinar, de forma crítica, quais os métodos numéricos a aplicar com vista à resolução de problemas de optimização.
ProgramaCP1 - Otimização a uma variável.
CP2 - Introdução ao MATLAB
CP3 - Optimização a mais do que uma variável sem restrições:
(a) Condições necessárias e suficientes para a existência de extremos.
(b) Descida máxima e Métodos de Newton.
(c) Optimização no Matlab
CP4 - Optimização a mais do que uma variável com restrições:
(a) Restrições de igualdade: condições necessárias e suficientes para a existência de extremos.
(b) Restrições de desigualdade: Condições KKT.
(c) Optimização no Matlab.
Avaliação periódica:· Trabalho (T)· Exame final (E).A nota final é calculada de acordo com a seguinte fórmula:Nota Final = max(0,20 x [Nota de T] + 0,80 x [Nota de E], Nota de E)Observações:I) Nota mínima do Exame Final = 9,5 val.II) Condição de Aprovação à UC: Nota Final >= 10 val.III) As notas do Trabalho (T) e a nota do Exame Final (E) são arredondadas à décima mais próxima; a nota final é arredondada à unidade mais próxima.
Bibliografia· Nocedal, J. and Wright, St. "Numerical optimization", Springer Verlag (1999). Bonnans, J.F et al, "Numerical Optimization: Theoretical and Practical Aspects" Springer Verlag (2006). Izmailov, A. e Solodov, M. "Otimização" vols. 1 e 2 IMPA (2014)
Bibliografia Opcional. Cornu éjols, G. et al. "Optimization in Finance" Cambridge University Press (2007) · Brandimarte, P. "Numerical Methods in Finance: A MATLAB-Based Introduction", Wiley-Interscience (2001).
Programação
Desenvolver os conhecimentos de progamação e aprofundar a capacidade de abstracção necessária para resolver problemas envolvendo programação com classes.
ProgramaA palavra chave desta disciplina é ABSTRACÇÃO.Nesta disciplina, abordaremos a Programação com Classes, usando como ferramenta a linguagem C++.Aprenderemos o que é uma classe, como criar e usar classes, com ênfase na perspectiva de um programador-utilizador: muitas vezes, em vez de criarmos código de raiz, faz sentido aproveitar classes criadas por terceiros - tantas vezes, disponibilizadas gratuitamente na internet.
Processo de AvaliaçãoAvaliação regular: - Exame final, com uma componente escrita e uma componente de programação em computadorOs alunos que reprovarem ou quiserem melhorar a avaliação regular possuem uma época de exame de recurso, tendo o exame de recurso uma ponderação de 100% da nota final. Em qualquer um dos sistemas de avaliação (avaliação regular ou exame de recurso) considera-se que o aluno teve aprovação à disciplina se tiver nota superior ou igual a 9.5 valores.
Bibliografia- Textos de apoio das aulas, facultados pelo docente - Documentação online da linguagem C++: http://www.cplusplus.com/doc/tutorial/Complementar (máx. 50 títulos)Pedro Guerreiro, Programação com Classes em C++, 3ª edição, FCA, 2003
Bibliografia OpcionalRisco de Crédito
Esta unidade curricular dedica-se à modelização do risco de crédito e à avaliação de derivados de crédito.
Programa1. Fundamentos do risco de crédito
2. Estimação da probabilidade de default
2.1. Ratings das agências de crédito
2.2. Credit scoring e modelos internos de rating
3. Modelos estruturais de risco de crédito
3.1. O modelo de Merton
3.2. Extensões ao modelo de Merton
3.3. O modelo Moody`s KMV
3.4. O modelo CreditGrades
4. Reduced form models
5. Risco de crédito de portfolios
6. Derivados de crédito
7. Unified credit-equity models
Avaliação periódica:a) Um trabalho de grupo (máximo de 3 elementos) com peso de 30%;b) Um exame final (de Época Normal) com peso de 70% na nota final e cuja nota mínima terá de ser igual ou superior a 7.5 valores.Obterão aprovação, os alunos que obtiverem uma nota final maior ou igual a 10 valores.Avaliação por exame: Os alunos podem realizar o exame de EN que terá um peso de 100%. Se reprovarem na avaliação periódica ou na EN podem aceder ao exame de recurso que terá um peso de 100%.
Bibliografia- Textos de apoio teórico/práticos a facultar pela equipa docente durante o trimestre; - Artigos científicos a facultar pela equipa docente durante o trimestre.
Bibliografia Opcional- Hull, J. C. (2008), Options, Futures and Other Derivatives, 7th edition, Prentice Hall (Chapters 22 and 23).- Lando, D. (2004). Credit Risk Modeling: Theory and Applications, Princeton University Press.- Löffler, G. and Posch, P. N. (2011). Credit Risk Modeling Using Excel and VBA, 2nd edition, Wiley.- Saunders, A. and Allen L. (2010). Credit Risk Measurement In and Out of the Financial Crises: New Appraches to Value at Risk and Other Paradigms, 3rd edition, Wiley.- Saunders, A. and Cornett, M. M. (2008). Financial Institutions Management: A Risk Management Approach, 6th edition, McGraw-Hill (Chapters 7, 11, and 12).- Schönbucher, P. J. (2003). Credit Derivatives Pricing Models: Models, Pricing and Implementation, Wiley.- Useful websites:? http://www.defaultrisk.com/ - for research papers. ? http://www.moodyskmv.com/ - for KMV documents. ? http://www.riskmetrics.com/techdoc.html - for CreditMetrics documents. ? http://www.bis.org/ - for Basel documents.
Risco de Mercado
A cadeira dedica-se à aplicação das principais metodologias de avaliação de risco de mercado para os vários instrumentos financeiros
Programa1. O RISCO FINANCEIRO
1.1. Tipologia de riscos
1.2. Razões para controlo dos riscos
2. VALUE at RISK (VaR)
2.1. VaR para distribuições gerais
2.2. VaR para distribuições paramétricas
3. VaR DE INSTRUMENTOS FINANCEIROS
3.1. Acções e divisas
3.2. Obrigações: mapping e bucketing
3.3. Derivados
Avaliação regular: - Um teste individual (mínimo de 90%)- Casos de avaliação individuais, assiduidade e participação (máximo 10%)Exame de recurso, ponderação de 100% da nota final. Em qualquer um dos sistemas de avaliação (avaliação regular ou exame de recurso) considera-se que o aluno teve aprovação à disciplina se tiver nota superior ou igual a 9.5 valores.
Bibliografia- Textos de Apoio teórico/práticos a facultar pela equipa docente durante o trimestre.- Alexander, Carol, 2008, Market Risk Analysis - Vol. IV - Value-At-Risk Models, Wiley.- Hull, John C., 2018, Risk Management and Financial Institutions, 5th Ed, Wiley.
Bibliografia Opcional- Allen, Steven, 2013, Financial Risk Management: A Practitioner?s Guide to Managing Market and Credit Risk, 2nd Ed., Wiley.- Dowd, Kevin, 2007, Measuring Market Risk, 2nd Ed., Wiley.- Jorion, Philippe, 2007, Value at Risk: The New Benchmark for Managing Financial Risk, 3rd Ed., McGraw-Hill Companies.- Jorion, Philippe, 2011, Financial Risk Manager Handbook, 6th Ed., Wiley.
Teoria do Risco em Seguros Não-Vida
Introduzir algumas das noções no campo actuarial, usando como metodologias básicas a Teoria da Utilidade e a Teoria do Risco.
Programa1.Revisão de conceitos básicos envolvendo variáveis aleatórias, com modelos probabilísticos associados discretos, contínuos, mistos ou de mistura. Os modelos de Bernoulli, Binomial, Poisson, Geométrico e Binomial Negativo, Normal, Gama, Beta, Pareto, etc. Revisão de Processos Estocásticos. Revisão de resultados assintóticos; somas de variáveis aleatórias e o Teorema Limite Central.
2.Alguns conceitos em Seguros sob uma perspectiva da Utilidade. Aversão ao risco.
3.Modelos de Risco Individual a breve prazo. Aproximações e noção de VaR.
4.Modelos de Risco Colectivo para um período simples. As Indemnizações Agregadas: modelos Poisson Composto e o Binomial Negativo.
5.Modelos de Risco Colectivo para um período genérico. Noção de Ruína. Os Processos associados às indemnizações - o Processo do Número de Indemnizações e o Processo das Indemnizações Agregadas. O Coeficiente de Ajustamento e sua relação com a Probabilidade de Ruína. Aplicações da Teoria do Risco a problemas de Seguros.
AULAS TEORICAS e TEORICO-PRATICAS, ministradas com:slides,quadro giz,sendo os alunos igualmente chamados a participar na resolução de questões.5 questões são propostas de trabalho individual escrito, em casa.AVALIAÇÂO CONTÍNUA (AC)+EXAME ESCRITO FINAL (EEF)NOTA=MAX( (EEF), 85%(EEF)+15%(AC) )
Bibliografia- Textos de Apoio dos slides teórico/práticos a facultar pela equipa docente durante o trimestre; Bibliografia Geral:1. (*)M. I. Fraga Alves, Teoria do Risco, Texto de apoio, Edições CEAUL, 2005. 2. N. L. Bowers Jr, H. U. Gerber, J. C. Hickman, D. Jones e C. J. Nesbitt, Actuarial Mathematics, Society of Actuaries, Chicago, 1986. (*) 3.(**)(*)Tse Yiu-Kuen (2009). Nonlife Actuarial Models. Cambridge University Press . (*) Manuais recomendados na área de Teoria do Risco.(**) Manuais sugeridos para revisão do ?background?
Bibliografia Opcional1. M.L. Centeno, Teoria do Risco na Actividade Seguradora, Celta editora, 2003. 2. M. I. Fraga Alves, Introdução à Teoria do Risco, Working Paper no 62, ISEG, CEMAPRE, 1997. 3. R. Kaas, M.J. Goovaerts, J. Dhaene & M. Denuit (2002). Modern Actuarial Risk Theory. Kluwer Academic Publishers, Dordrecht. 20024. Stuart A. Klugman, Harry H. Panjer, Gordon E. Willmot, Loss Models: From Data to Decisions, 3rd Edition. Wiley, 2008.
Tópicos de Análise Real
Esta unidade curricular pretende dotar os alunos que frequentam este ciclo de estudos de ferramentas básicas e conceitos fundamentais da análise real, que vão para além da manipulação de fórmulas. Por um lado, estas ferramentas são pré-requisitos para a realização de outras UCs que integram o mestrado (nomeadamente, Teoria da Medida, Otimização ou Equações com Derivadas Parciais). Por outro, são ferramentas mínimas indispensáveis em qualquer área onde a matemática desempenha um papel fundamental.
ProgramaCP1. Os números reais: conjuntos ordenados; corpos; o corpo dos números reais.
CP2. Noções básicas de topologia: potências de conjunto; espaços métricos; conjuntos compactos.
CP3. Sucessões numéricas e séries: convergência; subsucessões; sucessões de Cauchy; séries; alguns critérios de convergência; séries de potências.
CP4. Continuidade: limites e continuidade de funções entre espaços métricos; continuidade e topologia.
CP5. Derivação: derivada de uma função real; teoremas fundamentais.
CP6. Integral de Riemann: definição e propriedades; integração e derivação.
CP7. Sucessões e séries de funções: convergência uniforme; relações da continuidade uniforme com continuidade, integração e derivação.
A UC contempla um processo de avaliação periódica e que integra os seguintes instrumentos de avaliação:1. Três fichas de exercícios (FE), cada uma com 5 questões de carácter teórico-prático. As FE serão disponibilizadas semanalmente aos alunos via e-mail/Moodle, respeitando o seguinte calendário: FE1 (25%): disponível a partir de 03/09/2022 - entregar até 17/09/2022. FE2 (15%): disponível a partir de 10/09/2022 - entregar até 24/09/2022. FE3 (25%): disponível a partir de 17/09/2022 - entregar até 06/09/2022.2. Exame final (35%).A nota final é calculada de acordo com a seguinte fórmula:Nota Final = 0,25 x (Nota de FE1) + 0,15 x (Nota de FE2) + 0,25 x (Nota de FE3) + 0,35 x (Nota de Exame Final) Observações: I) As notas de cada FE e a nota do Exame Final são arredondadas à décima mais próxima; a nota final é arredondada à unidade mais próxima.II) Condição de Aprovação à UC: Nota Final >= 10 val.III) Nota mínima do Exame Final = 8,0 val.IV) Assiduidade mínima: 6 aulas (12h).
Bibliografia- S. Mendes, Tópicos de Análise Real (Notas de apoio às aulas), 2021.- J. Campos Ferreira, Introdução à Análise Matemática, Fundação Calouste Gulbenkian, 11ª Edição, 2014.- W. Rudin, Principles of Mathematical Analysis, McGraw-Hill, Third Edition, 1976.- Curso Elementar de Equações Diferenciais, Miguel Ramos,Textos de Matemática do DMFCUL, 2000.
Bibliografia OpcionalDerivados e Gestão de Risco
Esta unidade curricular dedica-se ao estudo dos principais instrumentos derivados (forwards, futuros e swaps) e sua utilização nos mercados financeiros.
Programa1. Introdução aos produtos derivados
2. Contratos forward
2.1. Forwards cambiais e de taxa de juro (FRA)
2.1.1. Caracterização: tipologia e mercados
2.1.2. Formação de preços e arbitragem
2.1.3. Gestão de riscos e especulação
2.1.4. Negociação de operações no mercado de balcão
3. Swaps de taxa de juro (IRS)
3.1. Caracterização
3.2. Formação de preços
3.3. Cobertura de riscos
3.4. Gestão da modalidade de taxa de juro de operações financeiras
3.5. Especulação
4. Futuros
4.1. Caracterização, organização e funcionamento de mercados
4.2. Futuros sobre acções e mercadorias
4.2.1. Caracterização e formação de preços
4.2.2. Gestão de riscos e especulação
5. Produtos derivados e inovação financeira
O sistema de avaliação compreende:- Casos práticos (30%)- Exame final (70%) Os alunos que reprovarem ou quiserem melhorar a avaliação regular possuem uma época de exame de recurso, tendo o exame de recurso uma ponderação de 100% da nota final. Em qualquer um dos sistemas de avaliação (avaliação regular ou exame de recurso) considera-se que o aluno teve aprovação à disciplina se tiver nota superior ou igual a 9.5 valores.
Bibliografia- Ao longo do trimestre é disponibilizada documentação de apoio que serve de base a cada módulo do programa. Complementarmente são indicadas referências bibliográficas para cada tema.- Hull, John C., 2011, Options, Futures, and Other Derivative Securities, Prentice Hall, Eighth Edition
Bibliografia Opcional-
Fundamentos de Economia
O objectivo principal de Fundamentos Economia é enfatizar a derivação formal de resultados e a resolução de problemas.
Programa1 O consumidor
Preferencias e utilitydade,
Funções Procura
2 O produtor
Tecnologia
Custos
3 Mercados
Concorrencia Perfeita
Monopolio
Oligopolio
A avaliação desta disciplina consiste num teste escrito no final do semestre abrangendo toda a matéria leccionada (100%).*, ***A assiduidade não pode ser inferior a 80%.** Para obter aprovação na disciplina, a nota da prova escrita não pode ser inferior a 10 valores.
BibliografiaVarian, H. R., Intermediate Microeconomics: A Modern Approach, 8th ed, New York, W. W. Norton, 2010
Bibliografia OpcionalFrank, R., Microeconomics and Behavior, 10th ed, Mc Graw-Hill, 2008Friedman, L., The Microeconomics of Public Policy Analysis, Princeton University Press, 2017Gravelle, H. e R. Rees, Microeconomics, Financial Times/ Prentice Hall; 3 edition , 2004Varian, H. R., Intermediate Microeconomic, 8th ed, New York: W. W. Norton
Mercados Financeiros
A cadeira visa apresentar o funcionamento dos mercados financeiros e analisar os principais conceitos subjacentes à análise e avaliação de obrigações. Especial ênfase será dada à avaliação de obrigações a taxa fixa.
Programa1. Mercados Financeiros
1.1. Mercados Monetários
1.2. Mercados Cambiais
1.3. Mercados de Capitais (Obrigações, Acções e Derivados)
2. Análise e Avaliação de Obrigações
2.1. Conceitos básicos
2.2. Estrutura temporal de taxas de juro
2.3. Avaliação de obrigações a taxa fixa
2.4. Medidas de rentabilidade
2.5. Estimação da estrutura temporal de taxas de juro
2.6. Rating e risco de crédito
Avaliação regular: - Um teste individual (100%)Os alunos que reprovarem ou quiserem melhorar a avaliação regular possuem uma época de exame de recurso, tendo o exame de recurso uma ponderação de 100% da nota final. Em qualquer um dos sistemas de avaliação (avaliação regular ou exame de recurso) considera-se que o aluno teve aprovação à disciplina se tiver nota superior ou igual a 9.5 valores.
Bibliografia- Textos de Apoio teórico/práticos a facultar pela equipa docente durante o trimestre; - Artigos científicos a facultar pela equipa docente durante o trimestre.
Bibliografia Opcional- Fabozzi, F., Bond Markets Analysis and Strategies, Prentice Hall, 3rd Edition, 1993.- Garbade, K. D., Fixed Income Analytics, The MIT Press, 1996.- Martellini, L., P. Priaulet e S. Priaulet, Fixed Income Securities ? Valuation, Risk Management & Portfolio Strategies, Wiley Finance, 2003.
Unidade curricular
Dissertação em Matemática Financeira
Elaborar uma dissertação abordando uma temática específica das áreas científicas da Matemática Financeira aplicando os conhecimentos teóricos e as metodologias específicas de forma a aprofundar uma questão teórica.
Programa1. Escrita de introdução e abstract
2. Definição de um problema de investigação
3. Definição de objectivos de pesquisa
4. Revisão de literatura
5. Definição de hipóteses
6. Técnicas de recolha de dados
7. Técnicas de análise de dados
8. Escrita de conclusões e definição de possibilidades de pesquisa futura
- Apresentação escrita da dissertação- Apresentação oral da síntese da dissertação e posterior discussão pública perante um júri
BibliografiaBem, Daryl., 2002, Writing the Empirical Journal Article, in In Darley, J.M., Zanna, M.P., & Roediger III, H.L. (Eds.), The Complete Academic: A Career Guide.Hull, John C., Options, Futures, and Other Derivative Securities, Prentice Hall, EIGHT edition, 2011Shreve, S., 2004, Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models, Springer
Bibliografia OpcionalBryman, A. (2003). Business Research Methods. Oxford: Oxford University Press- Fisher, C. (2007). Researching and writing a dissertation: A guidebook for business students. Essex: Prentice Hall
Econometria dos Mercados Financeiros
Pretende-se que os alunos, no final da unidade curricular, consigam aplicar métodos econométricos univariados e multivariados a problemas concretos de mercados financeiros.
Os objetivos principais são: explicar o conteúdo de forma clara e lógica, escrever documentos com uma aparência profissional, ser apto de formular ideias e conclusões, dar uma sequência lógica a informação, debater ideias e utilizar de forma efetiva um ?software? específico.
1. Introdução
2. Regressão
2.1. Correlação e causalidade
2.2. Regressão linear simples e múltipla
2.3. Métodos de estimação e diagnóstico. Pressupostos dos resíduos.
3. Modelos estacionários e não-estacionários univariados
3.1. Estacionariedade e Testes de raízes unitárias
3.2. Modelos ARMA/ARIMA
4. Modelos de heteroscedasticidade condicionada e volatilidade: ARCH/GARCH
5. Modelos estacionários e não-estacionários multivariados
5.1. Modelos multivariados -- VAR (Vector auto-regression)
5.2. Causalidade de Granger e Cointegração,
5.3. Modelos VECM (vector error correction models) e Método de Johansen
6. Aplicações e casos de estudo
7. Software: Python
A avaliação processa-se em 2 épocas: Normal e Recurso. Na Época Normal, os alunos que optem pela avaliação periódica, terão de ter uma assiduidade de 2/3 das aulas e serão avaliados por:a) Trabalho de grupo, 50%, nota mínima 10 valores. b) Exame final, 50%, nota mínima de 8 valores.Obterão aprovação os alunos que têm uma nota final >= a 10 valores.Exame de Recurso nas seguintes condições: alunos que não obtiveram aprovação na 1.ª Época; Para melhoria de nota.
Bibliografia1. Brooks, C., (2019), Introductory econometrics for finance, 4nd ed., Cambridge University Press. 2. Mills, T., (2019), Applied Time Series Analysis: A Practical Guide to Modeling and Forecasting, Academic Press, Elsevier Inc.3. Yves Hilpisch (2018), Python for Finance, 2nd Edition, O'Reilly Media, Inc.4. Diana Mendes, (2021), Teaching Slides, Python scripts and Notebooks (Fenix and/or E-learning).
Bibliografia Opcional1. Juselius, K., (2006), The Cointegrated VAR Model: Methodology and Applications, Oxford University Press.2. James Ma Weiming, (2019), Mastering Python for Finance: Implement advanced state-of-the-art financial statistical applications using Python, 2nd Edition, Packt Publishing.3. William H. Greene, (2018), Econometric Analysis, 8th Edition, Pearson.
Métodos Numéricos
Esta disciplina destina-se a fornecer as tecnicas numéricas básicas usadas na avaliação de produtos financeiros.
Programa I. Análise numérica básica
Interpolação
Derivação e integração numérica
Sistemas lineares
Método de Euler para EDO
II. Diferenças finitas para equações parabólicas
Métodos explicitos e implicitos (1+1D)
Estabilidade e convergência (1+1D)
Avaliação de opções europeias usando diferenças finitas (1+1D)
Método ADI para equações (1+2D)
Avaliação de opções americanas usando diferenças finitas (1+1D)
III. Método de Monte Carlo
Simulação de variáveis estocásticas
Equações diferenciais estocásticas
Avaliação regular: - Um exame escrito com uma ponderação de 100%Os alunos que reprovarem ou quiserem melhorar a avaliação regular possuem uma época de exame de recurso, tendo o exame de recurso uma ponderação de 100% da nota final. Em qualquer um dos sistemas de avaliação (avaliação regular ou exame de recurso) considera-se que o aluno teve aprovação à disciplina se tiver nota superior ou igual a 9.5 valores.
BibliografiaAtkinson, K. ; Han, W. - Elementary Numerical Analysis, Wiley, 3rd ed. (2004) Brandimarte, P. - Numerical Methods in Finance and Economics, Wiley, 2nd ed. (2006)Higham, D.J. - An Introduction to Financial Option Valuation, Cambridge (2004)Morton, K.W. ; Mayers, D.F. - Numerical Solution of Partial Differential Equations, Cambridge, 2nd ed. (2005)
Bibliografia OpcionalBoto, J.P. - Introdução ao MATLAB (apontamentos) Farlow, S.J. - Partial Differential Equations for Scientists and Engineers, Dover (1993)
Modelos da Estrutura Temporal de Taxas de Juro
A cadeira centrar-se-á sobre a avaliação de derivados de taxas de juro mediante a utilização de modelos estocásticos da estrutura temporal de taxas de juro. Contudo, as primeiras aulas serão dedicadas ao estudo de modelos de volatilidade estocástica.
No final do curso o aluno deverá dominar a aplicação de diferentes modelos à avaliação de diferentes derivados de taxas de juro.
1. Alternativas ao Modelo de Black-Scholes: volatility smiles
1.1. CEV model
1.2. Modelo de Heston (1993)
2. Estrutura Temporal de Taxas de Juro
2.1. Mercados de obrigações
2.2. Taxas spot, forward e factores de desconto
2.3. Avaliação de obrigações a taxa fixa
2.4. Yield-to-maturity
2.5. Avaliação de obrigações a taxa variável
2.6. Estimação da estrutura temporal de taxas de juro
2.6.1. Bootstraping
2.6.2. Nelson-Siegel (1987)
2.7. Duração e imunização
3. Modelos de Equilíbrio
3.1. Modelo de Vasicek (1977)
3.2. Modelo CIR (1985)
3.3. Multi-factor CIR model
3.4. Formulação geral de Duffie-Kan (1996)
3.5. Stochastic duration
4. Modelos de Não-Arbitragem
4.1. Modelos HJM
4.2. Condição de não-arbitragem
4.3. Especificação de Hull-White (1990)
4.4. Gaussian HJM model: avaliação de futuros e opções
4.5. Market Models
4.5.1. Lognormal LIBOR market model: caps, floors e collars
4.5.2. Jamshidian model: swaptions
Avaliação contínua: - Um teste individual final ou "frequência" (80%);- Casos de avaliação individuais, assiduidade e participação (20%).Os alunos que reprovarem ou quiserem melhorar a avaliação regular possuem uma época de exame de recurso, tendo o exame de recurso uma ponderação de 100% da nota final. Em qualquer um dos sistemas de avaliação (avaliação contínua ou exame de recurso) considera-se que o aluno teve aprovação à disciplina se tiver nota superior ou igual a 9.5 valores.
Bibliografia- Textos de Apoio teórico/práticos a facultar pela equipa docente durante o trimestre; - Artigos cientificos a facultar pela equipa docente durante o trimestre.
Bibliografia OpcionalBjörk, T., 2009, Arbitrage Theory in Continuous Time, 3rd edition, Oxford University Press.Brigo, D. and F. Mercurio, 2006, Interest Rate Models - Theory and Practice: With Smile, Inflation and Credit, 2006, 2nd edition, Springer.James, J, and N. Webber, 2000, Interest Rate Modelling: Financial Engineering, Wiley.Lamberton, D. and B. Lapeyre, 2007, Introduction to Stochastic Calculus Applied to Finance, 2nd edition, Chapman & Hall.Musiela, M. and M. Rutkowski, 2011, Martingale Methods in Financial Modelling, 2nd edition, Springer.Rebonato, R., 1998, Interest-rate Option Models, John Wiley & Sons, 2nd edition.Shreve, S., 2004, Stochastic Calculus for Finance II: Continuous-Time Models, Springer.
Optativas recomendadas
Objetivos
O Mestrado em Matemática Financeira visa a formação avançada de quadros na área dos processos estocásticos aplicados às Finanças e tem como objetivos gerais:
- Desenvolver competências especializadas na avaliação de instrumentos financeiros complexos, tais como os derivados financeiros;
- Desenvolver competências especializadas na modelização e quantificação de riscos financeiros relevantes para os setores da banca e seguros;
- Dotar os alunos com metodologias, procedimentos e técnicas de investigação que lhes permitam desenvolver o seu projeto de investigação com um elevado grau de autonomia.
Acreditações
